lunes, 14 de marzo de 2011

NUMEROS ALEATORIOS: HISTORIA

NUMEROS ALEATORIOS
Los números aleatorios son aquellos que pueden ser generados a partir de fuentes de aleatoriedad, las cuales, generalmente, son de naturaleza física (dados, ruletas, mecanismos electrónicos o mecánicos), y son gobernados por las leyes del azar; éstos exhiben verdadera aleatoriedad en la realización de experimentos. Por su parte, los números pseudo-aleatorios son aquellas que tienen un comportamiento similar a la naturaleza aleatoria, pero están ceñidos a un patrón, generalmente de naturaleza matemática, que hace que su comportamiento sea determinístico.

HISTORIA DE LOS NUMEROS ALEATORIOS
Aproximadamente por le año 3500 a.C., juegos de azar con objetos de hueso, que podrian ser considerados como los precursores de los dados, fueron ampliamente desarrollados en Egipto y otros lugares. En el siglo XVII, un noble francés, Antoine Gombauld (1607-1684), puso en tela de juicio el fundamento matemático del éxito y fracaso en las mesas de juego. Formuló esta pregunta al matemático francés Balies Pascal (1623-1662): ¿Cuáles son las posibilidades de que me salgan dos seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de un para de dados?, Pascal resolvió el problema, pues la teoría de la probabilidad empezaban a interesarle tanto como a Gombauld. Ambos compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fernat (1601-1665), y las cartas escritas por los tres constituyen la primera revista académica dedicada a la probabilidad. Algunos de los problemas que ellos resolvieron habían permanecido si solución durante unos 300 años. Sin embargo, ciertas probabilidades numéricas para ciertas combinaciones de dados ya habían sido calculadas por Giordamo Cardano (1501-1576) y por Galileo Galileo (1564-1642)
Mas tarde, Jacob Benoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) inventaron formulas y técnicas de probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simón, marqués de Laplace (1749-1827), unifico esas primeras ideas y formuló la primera teoría general de la probabilidad, la cual fue aplicada inicialmente con buenos resultados a los juegos de azar; con el tiempo también se aplicó en la búsqueda de soluciones analíticas a problemas de naturaleza no deterministica. La teoría de la probabilidad ha sido constantemente desarrollada desde el siglo XVII y ampliamente aplicada en diversos campos de estudio. Hoy es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de ingeniería,  ciencias y administración, y se constituye en la base para el estudio de las leyes de azar.
En cuanto a los números aleatorios, podemos afirmar que la historia formal de éstos  comenzó en la década de los cuarenta con el nacimiento del método llamado simulación de Montearlo, y Von Neumann, Metrópolis, Ulam y Lehmer pueden ser nombrados entre los pioneros en este campo. John Von Neumann aparentemente conjeturó el potencial de los computadores para tratar problemas estocásticos en 1945. Durante los cuarenta, la simulación de procesos estocásticos permaneció restringida al proyecto secreto del Departamento de Defensa de Estados Unidos. La publicación de The Monte Carlo Method por Metrópolis y Stanislaw M. Ulam en 1949 denota el inicio de la historia oficial del método. Dos años más tarde, D.H.Lehmer propuso el generador lineal de congruencia, el cual, con pequeñas modificaciones propuestas por Thomson y Rotenberg, ha llegado a convertirse en el método para la generación de números aleatorios mas ampliamente usado en la actualidad. Aunque originalmente el método de montecarlo fue implementado por John Von Neumann y Stanislaw Ulam, utilizando ruletas y dados en los problemas de difusión de los neutrones, en realidad su auge y creciente uso se debe a que hoy se emplean números aleatorios generados por computador.
Antes del advenimiento de las computadoras, los números aleatorios eran generados por dispositivos físicos. En 1939, Kendall y Babington-Smith publicaron 100000 dígitos aleatorios obtenidos con un disco giratorio iluminado con una lámpara relámpago. En 1955, la Rand Corporation publicó un millón de dígitos producidos controlando una fuente de pulsos de frecuencia aleatoria; estos se encuentran disponibles en cintas magnéticas de la Rand.

GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Una vez construido un modelo, debemos experimentar sobre él y para poder ejecutarlo necesitamos dar valores a las variables de tipo exógeno. De esta forma podremos obtener valores de salida y pasaremos a realizar un análisis de los mismos. Algunas de las variables de entrada son de tipo aleatorio por lo que se tendrán que generar valores que simulen dichas entradas. Para generar variables aleatorias que sigan determinadas funciones de probabilidad necesitamos partir de series de números que cumplan ciertas características de aleatoriedad. La generación de dichos números es lo que se va a abordar en este tema.

Método de congruencias aditivas.
Es un método rápido, puesto que no necesita realizar multiplicación. Se precisa una secuencia de números x1, x2. . . , xn. El generador produce una extensión de la secuencia xn+1, xn+2, . . . de la forma siguiente:

xi = (xi1 + xin) mod m

Por definición a = b mod m si ab es divisible por m (resto 0). Por ejemplo, en módulo 4, los números 2, 6, 10, 14 son equivalentes porque (10 2), (10 6) . . . son todos divisibles por 4. Hay que tener en cuenta que, cuando utilizamos módulo m, los valores que resultarán estarán comprendidos entre 0 y m-1.

Generadores de congruencias lineales
Una gran mayoría de los generadores utilizados actualmente utilizan esta técnica introducida por Lehmer en 1951. Una secuencia de números enteros Z1,Z2, . . . está definida por la fórmula recursiva:

Zi = (aZi1 + c) mod m

donde el módulo m, el multiplicador a, el incremento c y la semilla o valor de comienzo
Z0 son enteros no negativos


Método de cuadrados medios: Fue  propuesto en la década de los 40 del siglo XX por Von Neumann y Metrópolis. Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado. Los pasos para generar números mediante cuadrados medios son:

1.       Seleccionar una semilla (X0).
2.      Se eleva al cuadrado la semilla.
3.      Se extrae  la cantidad de dígitos del centro que se deseen, y este será X1.
4.      Dividir X1 entre 10000 y el resultado es el número aleatorio buscado.
5.      Repetir desde el paso 2 siendo la semilla X1 hasta obtener la cantidad de número aleatorios deseados.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ALEATORIOS

  1. Uniformemente distribuidos: cualquier número que pertenezca al rango de interés debe tener la misma probabilidad de resultar sorteado.
  2. Estadísticamente independientes (no correlación): tienen periodicidad cuando varios elementos, repetidos o no, formando una cadena, aparecen en la misma secuencia.
  3. Periodo largo (sin repetición).
  4. Reproducibles y mutables: cuando el Método comienza con la misma Semilla, debe dar la misma secuencia de números Pseudoaleatoreos.
  5. Sencillo en su implementación.
  6. Portabilidad.
  7. Método rápido de generación: velocidad de generación acorde a las necesidades.
  8. Poca memoria para la generación.


 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
  • Mancilla herrera Alfonso Manuel; numero aleatorios, Historia, teorías y aplicaciones, edición uninorte. 
  • Sánchez Algarra, Pedro: Metodos estadísticos aplicados 

MAPA DE DISTRIBUCIÓN